Задача 35139

Темы:    [ Подсчет двумя способами ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Разные задачи на разрезания ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Какое наибольшее количество непересекающихся диагоналей можно провести в выпуклом n-угольнике (допускаются диагонали, имеющие общую вершину)?

Решение

  Каждая проведённая диагональ увеличивает число многоугольников-частей на 1. Поэтому проведя k непересекающихся диагоналей, мы разрежем n-угольник на  k + 1  многоугольников. Оценим их количество.

  Первый способ. Общее число сторон получившихся частей равно  n + 2k  (каждая диагональ является стороной двух многоугольников). У каждого многоугольника не меньше трёх сторон. Поэтому  n + 2k ≥ 3(k + 1),  то есть  k ≤ n – 3.

  Второй способ. Общая сумма углов получившихся частей равна сумме углов исходного n-угольника, то есть  (n – 2)·180°.  Сумма углов каждого многоугольника не меньше 180°. Поэтому  n – 2  ≥ k + 1,  то есть  k ≤ n – 3.

  Пример с  n – 3  диагоналями можно получить, если разрезать n-угольник на треугольники (например, провести все диагонали, выходящие из одной вершины).

Ответ

n – 3  диагонали.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача