Задача 35143

Темы:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Простые числа и их свойства ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Докажите, что не существует многочлена (степени больше нуля) с целыми коэффициентами, принимающего при каждом натуральном значении аргумента значение, равное некоторому простому числу.

Подсказка

Если число a – целое, а P(x) – некоторый многочлен с целыми коэффициентами, то числа P(a) и  P(a + p)  имеют одинаковые остатки от деления на p.

Решение

Предположим, что такой многочлен P(x) существует. В частности,  p = P(1)  – простое число. Тогда  P(1 + p) = (P(1 + p) – P(1)) + P(1)  также делится на p (см. решение задачи 35562). Поскольку число  P(1 + p)  – простое, то  P(1 + p) = p.  Аналогично,  P(1 + 2p) = P(1 + 3p) = ... = p.  Таким образом, многочлен   P(x) – p  принимает нулевое значение в точках  1,  1 + p,  1 + 2p,  ... .  Однако, степень этого многочлена больше нуля, поэтому он не может иметь бесконечное число корней. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача