Задача 35153

Темы:    [ Cкрещивающиеся прямые, угол между ними ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Расстояние между двумя точками. Уравнение сферы ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Концы отрезка фиксированной длины движутся по двум скрещивающимся перпендикулярным прямым. По какой траектории движется середина этого отрезка?

Подсказка

Введите подходящую систему координат, примените формулу расстояния между двумя точками.

Решение

Введем прямоугольную систему координат так, чтобы первая прямая задавалась системой уравнений z=1, y=0, а вторая прямая - системой уравнений z=-1, x=0. Таким образом, первый конец отрезка имеет координаты (a,0,1), а второй конец отрезка имеет координаты (0,b,-1), гда a и b - некоторые числа. Квадрат расстояния между концами отрезка высчитывается по формуле a²+b²+(1-(-1))²= a²+b²+4. Расстояние между концами отрезка должно быть равно фиксированному числу d (отрезок жесткий). Поэтому числа a и b связаны равенством a²+b²+4=d². Середина M отрезка имеет координаты (a/2,b/2,(1+(-1))/2)=(a/2,b/2,0). Это означает, что M движется в плоскости z=0. Написанное выше уравнение преобразуется к виду уравнения окружности для точки (a/2,b/2) плоскости Oxy: (a/2)²+(b/2)²=(d/2)²-1. Таким образом, точка M движется по окружности радиуса ((d/2)²-1)^1/2 с центром в начале координат, лежащей в плоскости Oxy.

Ответ

по окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача