Условие
Положительные иррациональные числа a и b таковы, что 1/a+1/b=1.
Докажите, что среди чисел [ma], [nb] каждое натуральное число
встречается ровно один раз.
Подсказка
Докажите, что среди чисел вида ma и nb для натуральных m и n ровно
k-1 число, меньшее k.
Решение
Докажем, что среди чисел вида ma и nb для натуральных m и n ровно
k-1 число, меньшее k.
Применив затем это утверждение для k=1, 2, ... , получим, что в каждом
промежутке от 1 до 2, от 2 до 3, ... , от k-1 до k добавляется
ровно одно число вида [ma] или [nb].
Итак, зададимся некоторым натуральным k.
Найдем числа M и N такие, что Ma<k<(M+1)a
и Nb<k<(N+1)b. (Здесь мы имеем право взять строгие
неравенства, поскольку a и b - иррациональные числа.)
Тогда имеется ровно M+N чисел вида [ma] или [nb], меньших k.
В самом деле, число [ma] меньше k в точности при m = 1, 2, ... , M;
и аналогично число [nb] меньше k в точности при b = 1, 2, ... , N.
Осталось понять, что M+N=k-1.
Разделим неравенства Ma<k<(M+1)a
и Nb<k<(N+1)b на a и b соответственно, а затем сложим их.
Получим:
M+N < k/a+k/b < M+N+2.
По условию k/a+k/b=1, поэтому
M+N < k < M+N+2.
Таким образом, натуральное k заключено между натуральными числами
M+N и M+N+2. Отсюда однозначно k=M+N+1, т.е. M+N=k-1, что мы и
хотели доказать.
Источники и прецеденты использования
