Задача 36998
|
|
 |
Условие
Треугольник ABC вписан в окружность. Через точки A и B проведены касательные к этой окружности, которые пересекаются в точке P. Точки X и Y — ортогональные проекции точки P на прямые AC и BC. Докажите, что прямая XY перпендикулярна медиане треугольника ABC, проведенной из вершины C.
Решение
Тогда ∠PXY = ∠ACD; ∠PYX = ∠BCD.
Следовательно, .
Кроме того, так как |PA| = |PB|, то
.
По свойству углов между касательной и хордой окружности, получим, что ∠PBY = ∠CAB; ∠PAX = ∠CBA.
Таким образом, .
Используя теорему синусов для треугольников АВМ и СВМ, получим:
и
.
Следовательно,
1, то есть,
CM — медиана треугольника ABC, ч. т. д.
