Информация о задаче

Задача 52426

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точке A. Через точку A проведена прямая, пересекающая S₁ в точке B, S₂ — в точке C. В точках C и B проведены касательные к окружностям, пересекающиеся в точке D. Докажите, что угол BDC не зависит от выбора прямой, проходящей через точку A.

Подсказка

Докажите, что $\angle$ D = 180^o - $\angle$ O₁AO₂.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей. Тогда

$\displaystyle \angle$ D = 180^o - ( $\displaystyle \angle$ DBA + $\displaystyle \angle$ DCA) = 180^o - $\displaystyle {\frac{\angle BO_{1}A + \angle AO_{2}C}{2}}$ =

= 180^o - $\displaystyle {\frac{180^{\circ} - 2\angle BAO_{1} + 180^{\circ} - 2\angle CAO_{2}}{2}}$ =

= $\displaystyle \angle$ BAO₁ + $\displaystyle \angle$ CAO₂ = 180^o - $\displaystyle \angle$ O₁AO₂.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	88