Информация о задаче

Задача 52429

Темы:	[	Диаметр, основные свойства	]
Темы:	[	Отношения площадей подобных фигур	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На стороне BC треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая отрезок AB в точке D. Найдите отношение площадей треугольников ABC и BCD, если известно, что AC = 15, BC = 20 и $\angle$ ABC = $\angle$ ACD.

Подсказка

Докажите, что треугольник ABC — прямоугольный.

Решение

Если окружность пересекает сторону AC в точке K, то $\angle$ KCD = $\angle$ DBK. Следовательно, $\angle$ DBK = $\angle$ DBC. Значит, точка K совпадает с точкой C. Поэтому $\angle$ ACB = 90^o и CD — высота прямоугольного треугольника ACB, проведённая из вершины прямого угла. Тогда

CD = $\displaystyle {\frac{AC\cdot BC}{AB}}$ = 12.

Треугольник ABC подобен треугольнику CBD с коэффициентом ${\frac{AB}{BC}}$ = ${\frac{5}{4}}$ . Следовательно, их площади относятся как $\left(\vphantom{\frac{5}{4}}\right.$ ${\frac{5}{4}}$ $\left.\vphantom{\frac{5}{4}}\right)^{2}_{}$ .

Ответ

${\frac{25}{16}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	91