Задача 52431

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Признаки подобия ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Из одной точки проведены касательная и секущая к некоторой окружности.
Докажите, что произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату длины отрезка касательной.

Решение

  Пусть A – данная точка вне окружности, AM – касательная к этой окружности (M – точка касания), ACB – секущая, причём точка C лежит между точками A и B.
  Поскольку угол CMA равен углу MBA, то треугольники ABM и AMC подобны. Поэтому  AM : AC = AB : AM.  Следовательно,  AC·AB = AM².

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	93