Задача 52458

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вспомогательная окружность ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Из точки M, лежащей вне окружности, проведены к этой окружности две касательные. Расстояния от точки C, лежащей на окружности, до касательных равны a и b. Найдите расстояние от точки C до прямой AB, где A и B – точки касания.

Решение

Пусть P, Q, N – основания перпендикуляров, опущенных из точки C на прямые MA, MB, AB соответственно. Тогда точки P и N лежат на окружности с диаметром AC, а точки N и Q – на окружности с диаметром BC. Поэтому  ∠CPN = ∠CAB = ∠CBQ = ∠CNQ  (мы применили теорему об угле между касательной и хордой). Аналогично  ∠CNP = ∠CQN.  Значит, треугольники PCN и NCQ подобны по двум углам. Следовательно,  CN : CQ = CP : CN,  и
CN² = CP·CQ = ab.

Ответ

$\sqrt{ab}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	120