|
|
 |
Условие
Четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность с центром O.
Докажите, что ломаная AOC делит его на две равновеликие части.
Подсказка
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
Решение 1
Пусть K – точка пересечения диагоналей AC и BD. Если O принадлежит AC, то решение очевидно. Иначе, один из получившихся четырёхугольников – выпуклый. Пусть тогда M и N – основания перпендикуляров, опущенных из точки O на AC и BD. Тогда
Решение 2
Пусть M – середина BD. OM || AC, поэтому SAOM = SCOM, и, значит, SAOCD = SAMCD. С другой стороны, SABM = SADM, SCBM = SCDM, следовательно, SAMCD = ½ SABCD.
Замечания
1. Вписанность почти ни при чём. Достаточно, чтобы в четырёхугольнике с перпендикулярными диагоналями точка O лежала на серединном перпендикуляре к BD. Впрочем, имеются другие решения, использующие вписанность, но они сложнее.
2. 5 баллов.
