Информация о задаче

Задача 52502

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
Темы:	[	Проекции оснований, сторон или вершин трапеции	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Из точки вне окружности проведены касательные и секущая, причём точки касания и точки пересечения секущей с окружностью являются вершинами некоторой трапеции. Найдите отношение оснований трапеции, если известно, что угол между касательными равен 60^o.

Подсказка

Пусть S — данная точка, SBD — секущая, A и C — точки касания и AB || CD. Тогда треугольник SBC подобен треугольнику SCD, а треугольник SBA — треугольнику SAD.

Решение

Пусть S — данная точка, SBD — секущая, SA и SC — касательные, AB || DC. Обозначим AB = x, CD = y.

Из подобия треугольников SBC и SCD (по двум углам) следует, что ${\frac{BC}{DC}}$ = ${\frac{SB}{CS}}$ , а из подобия треугольников SBA и SAD — ${\frac{AB}{AD}}$ = ${\frac{SB}{AS}}$ .

Поскольку CS = AS, то ${\frac{AB}{AD}}$ = ${\frac{BC}{DC}}$ , или AB^.DC = xy = BC². Отсюда находим, что BC = $\sqrt{xy}$ . Кроме того,

$\displaystyle \angle$ BCD = $\displaystyle \angle$ ADC = 60^o.

Если P — проекция точки B на основание CD трапеции ABCD, то PC = ${\frac{y-x}{2}}$ . В треугольнике BPC имеем:

PC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BC, или $\displaystyle {\frac{y-x}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{xy}}{2}}$ , или $\displaystyle {\frac{x}{y}}$ + $\displaystyle \sqrt{\frac{x}{y}}$ - 1 = 0.

Из этого уравнения находим, что

$\displaystyle {\frac{x}{y}}$ = $\displaystyle {\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$ .

Ответ

${\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	165