Информация о задаче

Задача 52505

Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]
Темы:	[	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Купцов Л.

Дан правильный треугольник ABC. Некоторая прямая, параллельная прямой AC, пересекает прямые AB и BC в точках M и P соответственно. Точка D — центр правильного треугольника PMB, точка E — середина отрезка AP. Найдите углы треугольника DEC.

Подсказка

Пусть C₁ — образ точки C при симметрии относительно точки E. Тогда треугольник C₁DM равен треугольнику CDP. Тогда C₁D = CD.

Решение

Первый способ.

Пусть K — проекция точки D на BC, а Q — проекция точки B на AC. Точки K, D, Q и C лежат на окружности с диаметром CD. Поскольку

$\displaystyle \angle$ EQD = $\displaystyle \angle$ AQD - $\displaystyle \angle$ AQE = 90^o - 60^o = 30^o,

$\displaystyle \angle$ DKE = $\displaystyle \angle$ DKC - $\displaystyle \angle$ EKC = 90^o - $\displaystyle \angle$ ABC = 90^o - 60^o = 30^o,

то отрезок DE виден из точек Q и K под одним и тем же углом. Следовательно, точки K, D, E, Q лежат на той же окружности. Поэтому

$\displaystyle \angle$ DEC = 90^o, $\displaystyle \angle$ DCE = $\displaystyle \angle$ DQE = 30^o.

Второй способ.

Пусть C₁ — образ точки C при симметрии относительно точки E. Треугольник C₁DM равен треугольнику CDP, т.к.

C₁M = C₁P - MP = AC - MP = BC - BP = PC, MD = DP, $\displaystyle \angle$ C₁MD = $\displaystyle \angle$ CPD = 150^o.

Поэтому C₁D = CD. Следовательно, медиана DE равнобедренного треугольника C₁DC является его высотой. Пусть K — середина отрезка BP. Тогда EK — средняя линия треугольника APB, а т.к. точки E и K лежат на окружности с диаметром CD, то

$\displaystyle \angle$ EDC = $\displaystyle \angle$ EKC = 60^o, $\displaystyle \angle$ DEC = 90^o, $\displaystyle \angle$ DCE = 30^o.

Третий способ.

Повернём треугольник BMP на 60^o относительно точки C так, чтобы точка B перешла в A. Тогда точка P перейдёт в точку P₁ отрезка AC, точка M — в точку M₁, лежащую вне треугольника ABC, точка D — в точку D₁, центр треугольника AM₁P₁.

Четырехугольник DPD₁A — параллелограмм, DD₁ — его диагональ. Поэтому D₁D проходит через точку E и D₁E = DE.

Поскольку CE — медиана равнобедренного треугольника DCD₁(CD = CD₁), то $\angle$ CED = 90^o, а т.к. $\angle$ DCD₁ = 60^o, то $\angle$ DCE = 30^o.

Ответ

90^o, 60^o, 30^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	168