Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109635

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Разложение на множители ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Докажите, что в арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, и разностью, равной 729, найдётся бесконечно много членов, являющихся степенью числа 10.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55134

Темы:   [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Два треугольника A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂, площади которых равны соответственно S₁ и S₂, расположены так, что лучи A₁B₁ и A₂B₂, B₁C₁ и B₂C₂, C₁A₁ и C₂A₂ противоположно направлены. Найдите площадь треугольника с вершинами в серединах отрезков A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55782

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Описанные четырехугольники ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Центр масс ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

На плоскости расположены три окружности Ω₁, Ω₂, Ω₃ радиусов r₁, r₂, r₃ соответственно – каждая вне двух других, причём  r₁ > r₂  и   r₁ > r₃. Из точки пересечения общих внешних касательных к окружностям Ω₁ и Ω₂ проведены касательные к окружности Ω₃, а из точки пересечения общих внешних касательных к окружностям Ω₁ и Ω₃ проведены касательные к окружности Ω₂. Докажите, что последние две пары касательных образуют четырёхугольник, в который можно вписать окружность, и найдите её радиус.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109516

Темы:   [ Свойства симметрии и центра симметрии ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Из центра симметрии двух равных пересекающихся окружностей проведены два луча, пересекающие окружности в четырех точках, не лежащих на одной прямой. Докажите, что эти точки лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 52505

Темы:   [ Поворот помогает решить задачу ] [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Дан правильный треугольник ABC. Некоторая прямая, параллельная прямой AC, пересекает прямые AB и BC в точках M и P соответственно. Точка D — центр правильного треугольника PMB, точка E — середина отрезка AP. Найдите углы треугольника DEC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями