Задача 52599

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум. ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Дана окружность с хордой и касательной, причём точка касания лежит на меньшей из двух дуг, стягиваемых хордой.
Найдите на касательной точку, из которой хорда видна под наибольшим углом.

Подсказка

Докажите, что искомая точка – точка касания. Используйте свойство внешнего угла треугольника.

Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть M – точка касания, AB – хорда, X – произвольная точка касательной, отличная от M. Предположим, что отрезок AX пересекает дугу AMB в точке K. Тогда AKB – внешний угол треугольника AXB. Поэтому  ∠AMB = ∠AKB > ∠AXB.

Ответ

Точка касания.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	264