Задача 52757

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Средняя линия трапеции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Дан квадрат, две вершины которого лежат на окружности радиуса R, а две другие – на касательной к этой окружности. Найдите диагонали квадрата.

Подсказка

Радиус окружности, проведённый в данную точку касания, есть средняя линия прямоугольной трапеции, одно из оснований которой – сторона квадрата, перпендикулярная касательной.

Решение

  Пусть вершины A и B квадрата ABCD со стороной x лежат на окружности радиуса R и центром O, вершины D и C – на касательной, проведённой к окружности в точке K, M – точка пересечения окружности со стороной AD. Тогда MB – диаметр окружности, а так как OK – средняя линия трапеции MDCB, то
½ (MD + BC) = OK,  откуда  MD = 2R – x,  AM = x – (2R – x) = 2x – 2R.
  По теореме Пифагора  x² + (2x - 2R)² = 4R,  откуда  x = ^8R/₅.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	422