Задача 52763

Темы:    [ Биссектриса угла ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На плоскости дан угол величины 60°. Окружность касается одной стороны этого угла, пересекает другую сторону в точках A и B и пересекает биссектрису угла в точках C и D.  AB = CD = .  Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Решение

  Пусть K – вершина угла, O – центр окружности, R – её радиус, М – точка касания со стороной угла, L – середина хорды CD.
  Из условия ясно, что KO – биссектриса угла AOC, то есть  ∠OKC = 15°.  Значит,  ∠OKM = 45°,  OM = R,    или  R²(1 – cos 30°) = R² – ³/₂,  откуда  

Ответ

π.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	428