Информация о задаче

Задача 52839

Темы:	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Диаметр, основные свойства	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Вспомогательная окружность	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD проведены диагонали AC и BD. Известно, что AD = 2, $\angle$ ABD = $\angle$ ACD = 90^o, и расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ABD и ACD, равно $\sqrt{2}$ . Найдите BC.

Подсказка

Точки A, D и центры указанных окружностей лежат на окружности, центр которой расположен на описанной окружности четырёхугольника ABCD.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры указанных окружностей. Поскольку

$\displaystyle \angle$ AO₁D = $\displaystyle \angle$ AO₂D = 90^o + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ ACD = 90^o + 45^o = 135^o,

то точки A, O₁, O₂ и D лежат на одной окружности. Пусть O — центр этой окружности, R — её радиус. Тогда

AD = 2R sin $\displaystyle \angle$ AO₁D, или 2 = 2R sin 135^o.

Откуда находим, что R = $\sqrt{2}$ .

В треугольнике AOD квадрат стороны AD равен сумме квадратов сторон OA и OD ( ( $\sqrt{2}$ )² + ( $\sqrt{2}$ )² = 4 = 2²). Поэтому $\angle$ AOD = 90^o. Поскольку из точек B, C и O отрезок AD виден под прямым углом, то эти точки лежат на окружности с диаметром AD, т.е. на окружности, описанной около данного четырёхугольника ABCD.

Поскольку O₁O₂ = $\sqrt{2}$ = R, то $\angle$ O₁OO₂ = 60^o. Поскольку O — середина дуги AD, не содержащей точки B, то CO и BO — биссектрисы углов ACD и ABD. Поэтому BO₁O — одна прямая и CO₂O — одна прямая. Поскольку $\angle$ BOC = 60^o, то

BC = AD sin 60^o = 2^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Ответ

$\sqrt{3}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	505