Задача 52845

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Найдите косинус угла при основании равнобедренного треугольника, если точка пересечения его высот лежит на вписанной в треугольник окружности.

Решение

  Пусть O – центр окружности, вписанной в треугольник ABC  (AC = BC),  H – точка пересечения высот,  ∠A = ∠B = 2α,  K – середина AB. Тогда  OK = AK tg α,
HK = AK tg(90° – 2α) = AK ctg 2α.
  Поскольку  HK = 2OK,  то  2tg α = ctg 2α.  Пусть  tg α = t.  Тогда   2t = ^1–t2/_2t.  Отсюда  t² = ¹/₅.  Следовательно,   cos 2α = ^1–t2/_1+t² = ²/₃.

Ответ

²/₃.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	511