Информация о задаче

Задача 52849

Темы:	[	Средняя линия трапеции	]
Темы:	[	Признаки и свойства касательной	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность, построенная на основании AD трапеции ABCD как на диаметре, проходит через середины боковых сторон AB и CD трапеции и касается основания BC. Найдите углы трапеции.

Подсказка

Радиус окружности, проведённый в середину боковой стороны, образует угол в 30^o с основанием трапеции.

Решение

Пусть M и N — середины боковых сторон соответственно AB и CD трапеции ABCD. Тогда MN || AD.

Пусть O — центр окружности, K — точка касания с основанием BC, P — точка пересечения радиуса OK со средней линией MN. Тогда

OP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ OK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ON.

Из прямоугольного треугольника PNO находим, что $\angle$ PNO = 30^o. Тогда

$\displaystyle \angle$ NOD = $\displaystyle \angle$ PNO = 30^o, $\displaystyle \angle$ CDA = $\displaystyle {\frac{180^{\circ} - 30^{\circ}}{2}}$ = 75^o.

Аналогично находим, что $\angle$ BAD = 75^o.

Ответ

75^o, 75^o, 105^o, 105^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	516