Информация о задаче

Задача 53033

Темы:	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Площадь треугольника (через высоту и основание)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Стороны KN и LM трапеции KLMN параллельны, причём KN = 3, а угол M равен 120^o. Прямые LM и MN являются касательными к окружности, описанной около треугольника KLN. Найдите площадь треугольника KLN.

Подсказка

Докажите, что треугольник KLN — равнобедренный.

Решение

Отрезки ML и MN равны как касательные, проведённые из одной точки к окружности. Поэтому

$\displaystyle \angle$ MNL = $\displaystyle \angle$ MLN = 30^o, $\displaystyle \angle$ LNK = $\displaystyle \angle$ MLN = 30^o.

Поскольку угол LKN — вписанный, а угол MNL — угол между касательной и хордой LN, то $\angle$ LKN = 30^o. Следовательно, треугольник KLN — равнобедренный. Его высота равна

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ KN^.tg30^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{3}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

Следовательно,

S_KLN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.3^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{3}}{4}}$ .

Ответ

${\frac{3\sqrt{3}}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	702