Информация о задаче

Задача 53099

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Пересекающиеся окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Первая из двух окружностей проходит через центр второй и пересекает еёе в точках A и B. Касательная к первой окружности, проходящая через точку A, делит вторую окружность в отношении m : n (m < n). В каком отношении вторая окружность делит первую?

Подсказка

Примените теорему об угле между касательной и хордой.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры соответственно первой и второй окружностей, P — точка на второй окружности такая, что AP — касательная к первой окружности. Тогда

$\displaystyle \angle$ AO₂P = 360^{o .} $\displaystyle {\frac{m}{m+n}}$ ,

$\displaystyle \angle$ PAO₂ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (180^o - $\displaystyle \angle$ AO₂P) = 90^{o .} $\displaystyle {\frac{n-m}{n+m}}$ .

Поскольку $\angle$ PAO₂ — угол между касательной и хордой, то

$\displaystyle \angle$ AO₁O₂ = 2 $\displaystyle \angle$ PAO₂ = 180^{o .} $\displaystyle {\frac{n-m}{n+m}}$ ,

$\displaystyle \angle$ AO₁B = 2 $\displaystyle \angle$ AO₁O₂ = 360^{o .} $\displaystyle {\frac{n-m}{n+m}}$ .

Следовательно, в первой окружности

$\displaystyle \cup$ AO₂B = 360^{o .} $\displaystyle {\frac{n-m}{n+m}}$ .

Тогда дополнительная к ней дуга первой окружности равна 360^{o .} ${\frac{2m}{n+m}}$ , а искомое отношение равно ${\frac{n-m}{2m}}$ .

Ответ

${\frac{n-m}{2m}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	768