Задача 53110

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Диаметр, основные свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В равнобедренной трапеции с острым углом α при основании окружность, построенная на боковой стороне как на диаметре, касается другой боковой стороны.
В каком отношении она делит большее основание трапеции?

Подсказка

Выразите указанные отрезки большего основания через боковую сторону трапеции, то есть через диаметр окружности.

Решение

Пусть O – центр окружности (середина боковой стороны AB трапеции ABCD), OP – средняя линия трапеции, K – точка пересечения указанной окружности с большим основанием AD. Тогда  BK ⊥ AD  и  KD = OP.  Если M – точка касания окружности с боковой стороной CD, то  ∠MPO = α,  KD = OP = OM cosec α,  AK = AB cos α.  Следовательно,  ^AK/_KD = ^{AB cos α}/_{OM cosec α} = sin 2α.

Ответ

sin 2α : 1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	779