Задача 53113

Темы:    [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Площадь четырехугольника ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Две окружности, радиусы которых равны R и r, расположены одна вне другой. Отрезки общих внутренних касательных AC и BD (A, B, C, D – точки касания) равны a. Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

Подсказка

Найдите синус угла между диагоналями четырёхугольника ABCD.

Решение

  Пусть O₁ и O₂ – центры окружностей радиусов r и R соответственно, точки A и B принадлежат первой окружности, C и D – второй, P – точка пересечения AC и BD.
  Из подобия треугольников DPO₂ и BPO₁ следует, что  DP : PB = R : r.  Поэтому  PD = ^Ra/_R+r.  Следовательно,  tg∠DPO₂ = ^DO₂/_PD = ^R+r/_a,  а  
Поэтому  S_ABCD = ½ AC·BD sin∠DPC = ^a³(R+r)/_{a² + (R+r)²}.

Ответ

^a³(R+r)/_{a² + (R+r)²}

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	782