Задача 53140

Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Терешин Д.А.

На сторонах AB и AD квадрата ABCD взяты точки K и N соответственно. При этом AK ^. AN = 2BK ^. DN. Отрезки CK и CN пересекают диагональ BD в точках L и M. Докажите, что точки K, L, M, N и A лежат на одной окружности.

Подсказка

Докажите, что  ∠BKC + ∠DNC = 135°.

Решение

  Пусть сторона квадрата равна 1. Обозначим  BK = a,  DN = b,   ∠BKC = α,  ∠DNC = β.  Тогда   (1 – a)(1 – b) = 2ab,  откуда  1 – ab = a + b.
  Поскольку  tg α = ¹/_a,  tg β = ¹/_b,  то     Поэтому  α + β = 135°.  Значит,  ∠BLK = 135° – α = β = ∠CND = ∠BCM = ∠BAM  (из симметрии треугольников BCM и BAM относительно BD). Следовательно, точки K, L, M и A принадлежат одной окружности. Аналогично точки A, N, M и L лежат на одной (той же) окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	834