Задача 53152

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен 4, причём  AC = BC.  На прямой AB взята точка D, удалённая от прямых AC и BC на расстояния 11 и 3 соответственно. Найдите косинус угла DBC.

Решение

  Пусть CM – высота треугольника ABC, P и Q – проекции точки D на прямые AC и BC соответственно.Очевидно, что точка D не может лежать на продолжении AB за точку A.
  Если точка D лежит на продолжении стороны AB за точку B, то разность  DQ – DP = 8  равна высоте BH. Но это невозможно, так как высота больше удвоенного радиуса вписанной окружности.

  Значит, точка D лежит на отрезке AB и  cos∠DBC = cos∠B.

  Первый способ. Положим  AC = BC = a,  AB = 2c.
  S_ABC = S_ADC + S_BDC = ½ AC·DP + ½ BC·DQ = ½ (11a + 3a) = 7a.
  С другой стороны,  S_ABC = ½ (a + a + 2c)·4 = 4(a + c).
  Из уравнения  7a = 4(a + c)  находим, что  ^c/_a = ¾.  Следовательно,  cos∠B = ¾.

  Второй способ. Пусть CM – высота треугольника ABC, O – центр вписанной в треугольник ABC окружности,  ∠A = ∠B = α.  Тогда  
  Кроме того,  AB sin α = BH = DQ + DP = 14.  Из уравнения  8(1 + cos α) = 14  находим, что  cos α = ¾.

Ответ

¾.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	846