Задача 53206

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Дана равнобедренная трапеция ABCD. Известно, что  AD = 10,  BC = 2,  AB = CD = 5.  Биссектриса угла BAD пересекает продолжение основания BC
в точке K. Найдите биссектрису угла ABK в треугольнике ABK.

Подсказка

Треугольник ABK — равнобедренный.

Решение

  Пусть  ∠BAD = 2α.  Поскольку   ∠BKA = ∠KAD = ∠BAK,  то треугольник ABK – равнобедренный,  BK = AB = 5.  Его биссектриса BF является высотой. Следовательно,  BF = AB sin∠BAF = 5 sin α.
  Пусть P – проекция точки B на AD. Тогда  AP = ½ (AD – BC) = 4,  cos 2α = ^AP/_AB = ⁴/₅.
  Поэтому  

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	901