Информация о задаче

Задача 53218

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равносторонний треугольник ABC, сторона которого равна a, вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке D. Вторая окружность, расположенная внутри треугольника ABC, касается внешним образом первой (вписанной) окружности в точке K, касается стороны AB в точке M и стороны BC. Найдите площадь фигуры DKM, ограниченной меньшей из дуг DK, меньшей из дуг KM и отрезком MD.

Подсказка

Треугольник MKD — прямоугольный.

Решение

Пусть R и r — радиусы данных окружностей (R > r), O и Q — их центры, P — точка пересечения общей касательной, проходящей через точку K, со стороной AB. Поскольку PK = PD = PM, то треугольник MKD — прямоугольный.

Искомая площадь равна разности площадей треугольника MKD и двух сегментов. Площадь первого сегмента равна разности площадей сектора DOK и треугольника DOK, т.е.

$\displaystyle {\frac{\pi R^{2}}{6}}$ - $\displaystyle {\frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}}$ ,

а второго — разности площадей сектора MQK и треугольника MQK, т.е.

$\displaystyle {\frac{\pi r^{2}}{3}}$ - $\displaystyle {\frac{r^{2}\sqrt{3}}{4}}$ .

Поскольку BK = 3R - 2R = R, то r = ${\frac{1}{3}}$ R.

Из треугольников MQK и DOK находим, что

MK = r $\displaystyle \sqrt{3}$ = $\displaystyle {\frac{R\sqrt{3}}{3}}$ , DK = R (R = $\displaystyle {\frac{a\sqrt{3}}{6}}$ ).

Тогда искомая площадь равна

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ MK^.DK - $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi R^{2}}{6} - \frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\pi R^{2}}{6}}$ - $\displaystyle {\frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi R^{2}}{6} - \frac{R^{2}\sqrt{3}}{4}}\right)$ - $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi r^{2}}{3} - \frac{r^{2}\sqrt{3}}{4}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\pi r^{2}}{3}}$ - $\displaystyle {\frac{r^{2}\sqrt{3}}{4}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi r^{2}}{3} - \frac{r^{2}\sqrt{3}}{4}}\right)$ =

= $\displaystyle {\frac{R^{2}\sqrt{3}}{6}}$ - $\displaystyle {\frac{R^{2}}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$ - $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)$ - $\displaystyle {\frac{R^{2}}{9}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}}\right.$ $\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$ - $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{4}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}}\right)$ =

= $\displaystyle {\frac{R^{2}(48\sqrt{3} - 22\pi)}{108}}$ = $\displaystyle {\frac{R^{2}(24\sqrt{3} - 11\pi)}{54}}$ = $\displaystyle {\frac{a^{2}(24\sqrt{3} - 11\pi)}{648}}$ .

Ответ

${\frac{a^{2}(24\sqrt{3} - 11\pi)}{648}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	913