Задача 53236

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Теорема синусов ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC высота BH делит сторону AC в отношении  AH : HC = 4,  а угол HBC вдвое меньше угла A. Биссектриса AE угла A пересекается с BH в точке M. Найдите отношение площади треугольника ABM к площади описанного около этого треугольника круга.

Подсказка

Докажите, что треугольник ABM – равнобедренный, и найдите cos∠A.

Решение

  Обозначим  ∠HBC = α.  Тогда  ∠BAM = ∠CAM = α.  Поскольку  ∠BME = ∠AMH,  то  ∠BEM = ∠AHM = 90°,  то есть биссектриса AE треугольника ABC является его высотой. Значит, треугольник BAC – равнобедренный.
  Обозначим  CH = x.  Тогда  AH = 4x,  AB = AC = 5x,  cos 2α = cos∠A = ^AH/_AB = ⁴/₅,  cos α = .
  Поскольку  ∠BMA = 90° + α,  то радиус R описанной окружности треугольника ABM равен  
  Из треугольника ABH находим, что  BH = 3x.  Поэтому  S_ABH = ½·4x·3x = 6x².
  По свойству биссектрисы треугольника  ^BM/_MH = ⁵/₄.  Следовательно,  S_ABM = ⁵/₉ S_ABH = ¹⁰/₃ x²,  а искомое отношение равно

Ответ

¹²/_25π.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	931