Информация о задаче

Задача 53293

Темы:	[	Формула Герона	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме со сторонами 2 и 4 проведена диагональ, равная 3. В каждый из получившихся треугольников вписано по окружности. Найдите расстояние между центрами окружностей.

Подсказка

Найдите радиусы окружностей (площадь треугольника, делённая на полупериметр).

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей, вписанных в треугольники ABD и BDC, BD — диагональ параллелограмма ABCD, BD = 3, AB = 2, BC = 4.

Треугольники ABD и BDC равны по трём сторонам, следовательно, равны и радиусы вписанных в них окружностей. Обозначим эти радиусы через r, полупериметры — через p. Тогда

S_ABD = S_BDC = $\displaystyle \sqrt{p(p - AB)(p - AD)(p - BD)}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{9}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{15}}{4}}$ .

Тогда

r = $\displaystyle {\frac{S_{\Delta ABD}}{p}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{15}}{6}}$ .

Пусть M и N — точки касания первой и второй окружностей с диагональю BD. Тогда

DN = BM = p - AD = $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{2}}$ - 4 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ .

Поэтому MN = BD - 2BM = 3 - 1 = 2.

Пусть P — проекция центра O₁ на прямую O₂N. Тогда

0₂P = O₂N + NP = O₂N + O₁M = 2r = $\displaystyle {\frac{\sqrt{15}}{3}}$ .

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника O₁PO₂ находим, что

O₁O₂ = $\displaystyle \sqrt{O P^{2}+ O P^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{MN^{2}+ O P^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{4 + \frac{15}{9}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{51}}{3}}$ .

Ответ

${\frac{\sqrt{51}}{3}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	988