Информация о задаче

Задача 53297

Темы:	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан ромб с острым углом $\alpha$ . Какую часть площади ромба составляет площадь вписанного в него круга?

Подсказка

Высота ромба равна диаметру вписанного в ромб круга.

Решение

Пусть сторона ромба ABCD равна a и $\angle$ BAC = $\alpha$ . Тогда площадь ромба равна a²sin $\alpha$ .

Из вершины тупого угла B опустим перпендикуляр BM на сторону AD. Тогда

BM = AB sin $\displaystyle \alpha$ = a sin $\displaystyle \alpha$ .

Если r — радиус окружности вписанной в ромб, то

2r = BM = a sin $\displaystyle \alpha$ .

Поэтому

r = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ a sin $\displaystyle \alpha$

и площадь вписанного в ромб круга равна

$\displaystyle \pi$ r² = $\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ ^.a²sin² $\displaystyle \alpha$ .

Следовательно, искомое отношение равно

$\displaystyle {\frac{\frac{\pi}{4}a^{2}\sin ^{2}\alpha}{a^{2}\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ $\displaystyle \pi$ sin $\displaystyle \alpha$ .

Ответ

${\frac{1}{4}}$ $\pi$ sin $\alpha$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	992