Задача 53478

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9 Название задачи: Теорема о медианах треугольника.

Условие

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Подсказка

Докажите, что любые две медианы делятся точкой их пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение

Докажем сначала, что любые две медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1.

Пусть B₁ и C₁ — середины сторон AC и AB треугольника ABC, M -- точка пересечения медиан BB₁ и CC₁, P и Q — середины BM и CM. Тогда C₁B₁ и PQ — средние линии треугольников ABC и MBC. Поэтому C₁B₁ = PQ и C₁B₁PQ. Значит, четырёхугольник PC₁B₁Q — параллелограмм. Его диагонали PB₁ и QC₁ делятся точкой пересечения M пополам. Поэтому

BP = PM = MB₁, CQ = QM = MC₁.

Таким образом, BM : MB₁ = CM : MC₁ = 2 : 1. Аналогично для любой другой пары медиан.

Медиана, проведённая из вершины A, должна пройти через точку пересечения двух других медиан, т.к. в противном случае она не разделит каждую из этих медиан в отношении 2:1.

Другие доказательства: с помощью подобия, с помощью центра масс и т. д.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1207