Задача 53498

Темы:    [ Трапеции с суммой углов при основании 90╟ ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°.
Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен полуразности оснований.

Подсказка

Через середину меньшего основания проведите прямые, параллельные боковым сторонам трапеции.

Решение

  Пусть M и N – середины оснований BC и AD трапеции ABCD  (AD > BC)  и  ∠A + ∠D = 90°.
  Через точку M проведём прямые, параллельные AB и CD. Пусть K и L – точки их пересечения с основанием AD. Тогда  ∠MKL + ∠MLK = ∠A + ∠D = 90°.  Поэтому ∠KML = 90°.
  Кроме того,  NK = AN – AK = AN – BM = DN – CM = DN – DL = NL.  Значит, MN – медиана прямоугольного треугольника KML, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому  2MN = KL = AD – AK – LD = AD – BM – MC = AD – BC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1227