Задача 53512

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В равнобедренной трапеции ABCD основание AD равно a, основание BC равно b,  AB = d.  Через вершину B проведена прямая, делящая пополам диагональ AC и пересекающая прямую AD в точке K. Найдите площадь треугольника BDK.

Подсказка

Четырёхугольник ABCK – параллелограмм.

Решение

  Пусть  a > b.  Поскольку ABCK – параллелограмм, то  AK = BC = b,  DK = AD – AK = a – b.
  Пусть BP – высота трапеции. Тогда  BP² = AB² – AP² = d² – (^a–b/₂)² = ¼ (4d² – (a – b)²),  а   S_BDK = ½ KD·BP = ¼ (a – b).

  Аналогично для случая  a < b.

Ответ

¼ |a – b|.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1241