ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 53528
УсловиеДокажите, что расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны. РешениеДля прямоугольного треугольника утверждение очевидно. Рассмотрим случай не прямоугольного треугольника. Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC, O – центр его описанной окружности, K – середина BC. Первый способ. Проведём через вершины данного треугольника ABC прямые, параллельные противоположным сторонам. Получим новый
треугольник, подобный данному с коэффициентом 2 (стороны треугольника ABC являются средними линиями нового треугольника). При этом высоты треугольника ABC лежат на серединных перпендикулярах нового треугольника (рис. слева).
Третий способ. Пусть M, N, L – середины отрезков
AH, BH и BC соответственно (рис. слева). Тогда MN = KL и MN || KL (средние линии треугольников ABH и ABC), MH || OK, NH || OL. Четвёртый способ. Из равенства (см. задачу 55367) следует, что Пятый способ. Пусть A1 – точка, диаметрально противоположная вершине A. Тогда ∠ABA1 = ∠ACA1 = 90°, а так как BH ⊥ AC и CH ⊥ AB, то BH || CA и Шестой способ. Пусть L и F – середины отрезков AC и CH соответственно. Тогда OK ⊥ BC и AH ⊥ BC, поэтому OK || AH. С другой стороны, LF – средняя линия треугольника AHC, поэтому LF || AH и LF = AH/2. Следовательно, LF || OK. Отрезок KF – средняя линия треугольника BHC, поэтому KF || BH, а так как BH ⊥ AC, то KF ⊥ AC. С другой стороны, OL ⊥ AC, значит, OL || KF. Противоположные стороны четырёхугольника OKFL попарно параллельны, значит, это параллелограмм. Следовательно, OK = LF = AH/2. Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|