|
|
 |
Условие
Докажите, что биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются на средней линии.
Подсказка
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Решение
Пусть O – точка пересечения биссектрис углов, прилежащих к боковой стороне AB трапеции ABCD. Поскольку биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны, то ∠AOB = 90°. Достаточно доказать, что OM || BC.
Первый способ. Если M – середина AB, то OM – медиана прямоугольного треугольника AOB, проведённая
к гипотенузе. Поэтому OM = MB = MA,
∠MOB = ∠OBM = ∠OBC (см. рис.). Следовательно,
OM || BC. Значит, точка O принадлежит средней линии
трапеции.
Второй способ. Продолжим отрезок BO до пересечения с прямой AD в точке P. В силу равенства ∠ABP = ∠CBP = ∠APB треугольник BAP – равнобедренный. Значит, его высота AO является медианой, то есть O – середина BP. Следовательно, MO – средняя линия треугольника BAP, которая параллельна стороне AP.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1286 |
