Информация о задаче

Задача 53656

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В квадрате ABCD из точки D как из центра проведена внутри квадрата дуга через вершины A и C. На AD как на диаметре построена внутри квадрата полуокружность. Отрезок прямой, соединяющей произвольную точку P дуги AC с точкой D, пересекает полуокружность AD в точке K. Докажите, что длина отрезка PK равна расстоянию от точки P до стороны AB.

Решение

Пусть M — проекция точки P на AB. Обозначим $\angle$ MAP = $\alpha$ . Поскольку MAP — угол между касательной AB и хордой AP первой окружности, то

$\displaystyle \angle$ ADK = $\displaystyle \angle$ ADP = 2 $\displaystyle \alpha$ .

Из прямоугольного треугольника AKD находим, что

$\displaystyle \angle$ KAD = 90^o - $\displaystyle \angle$ ADK = 90^o - 2 $\displaystyle \alpha$ ,

поэтому

$\displaystyle \angle$ KAP = 90^o - $\displaystyle \angle$ MAP - $\displaystyle \angle$ KAD = 90^o - $\displaystyle \alpha$ - (90^o - 2 $\displaystyle \alpha$ ) = $\displaystyle \alpha$ .

Значит, прямоугольные треугольники KAP и MAP равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, PK = PM.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1391