Задача 53688

Темы:    [ Угол между касательной и хордой ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Вписанная окружность треугольника A₁A₂A₃ касается сторон A₂A₃, A₃A₁ и A₁A₂ в точках S₁, S₂ и S₃ соответственно. Пусть O₁, O₂ и O₃ – центры вписанных окружностей треугольников A₁S₂S₃, A₂S₃S₁ и A₃S₁S₂ соответственно. Докажите, что прямые O₁S₁, O₂S₂ и O₃S₃ пересекаются в одной точке.

Подсказка

Докажите, что если прямые, проходящие через точку M, касаются некоторой окружности в точках K и N, то центр вписанной окружности треугольника KMN совпадает с серединой меньшей дуги KN исходной окружности.

Решение

  Лемма. Пусть прямые, проходящие через точку M, касаются окружности ω в точках K и N. Тогда центр вписанной окружности треугольника KMN совпадает с серединой меньшей дуги KN окружности ω.
  Доказательство. Пусть O – середина указанной дуги. Тогда  ∠MKO = ∠KNO = ∠NKO,  поэтому KO – биссектриса угла MKN. Аналогично NO – биссектриса угла MNK. Следовательно, O – центр вписанной окружности треугольника KMN.

  Из леммы следует, что центры O₁, O₂ и O₃ вписанных окружностей треугольников A₁S₂S₃, A₂S₃S₁ и A₃S₁S₂ являются серединами дуг S₂S₃, S₁S₃ и S₁S₂ вписанной окружности треугольника A₁A₂A₃. Значит, прямые O₁S₁, O₂S₂ и O₃S₃ содержат биссектрисы углов треугольника S₁S₂S₃ и поэтому пересекаются в одной точке.

             

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1422