Задача 53741

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Две пары подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Большее основание AD трапеции ABCD равно a, меньшее –  BC = b.  Диагональ AC разделена на три равные части и через ближайшую к A точку деления M проведена прямая, параллельная основаниям. Найдите отрезок этой прямой, заключённый между диагоналями.

Подсказка

Пусть K – точка пересечения указанной прямой со стороной CD. Найдите MK.

Решение

  Пусть K – точка пересечения указанной прямой с боковой стороной CD, N – с диагональю BD.
  Поскольку  MK || AD,  то  DK : KC = AM : MC = 1 : 2,  DN : NB = DK : KC = 1 : 2.
  Из подобия треугольников CMK и CAD находим, что  MK = ²/₃ a,  а из подобия треугольников DKN и DCB –  NK = ¹/₃ b.
  Следовательно,  MN = MK – NK = ¹/₃ (2a – b).

Ответ

¹/₃ (2a – b).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1505