Задача 53772

Темы:    [ Две пары подобных треугольников ] [ Трапеции (прочее) ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключённый внутри трапеции, разбивается её диагоналями на три части.
Докажите, что отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой.

Подсказка

Каждый из указанных отрезков составляет одну и ту же часть от основания трапеции.

Решение

  Пусть точки M и N расположены на боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD, K и L – точки пересечения прямой MN с диагоналями AC и BD,  MN || BC.
  Треугольник AMK подобен треугольнику ABC, а треугольник DNL – треугольнику DCB, причём коэффициенты подобия одинаковы, так как
AM : AB = DN : DC.   Следовательно,  MK = LN.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1536