Задача 53807

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Трапеция AEFG  (EF || AG)  расположена в квадрате ABCD со стороной 14 так, что точки E, F и G лежат на сторонах AB, BC и CD соответственно. Диагонали AF и EG перпендикулярны,  EG = 10.  Найдите периметр трапеции.

Подсказка

Докажите, что указанная трапеция равнобедренная, а диагональ квадрата проходит через точку пересечения её диагоналей.

Решение

  Пусть M – точка пересечения диагоналей трапеции, P – проекция точки E на сторону CD квадрата. Углы BAF и PEG равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Значит, равны прямоугольные треугольники ABF и EPG, то есть  AF = EG.  Поэтому трапеция AEFG – равнобедренная.
  По теореме Пифагора  BF² = AF² – AB² = 4.
  Точки B и M лежат на окружности с диаметром EF, поэтому  ∠MBF = ∠MEF = 45°. Следовательно, диагональ BD квадрата проходит через точку M.
  Из подобия треугольников BMF и DMA следует, что   FM : AM = BF : AD = 1 : 7.  Поэтому и  EF : AG = 1 : 7.  Пусть  EF = x,  AG = 7x.
  Проведём высоту трапеции EH. Тогда  EH = HG = 4x,  EG = 4x .  Отсюда  x = ⁵/₂.
  В треугольнике AHE  EH = 4x,  AG = 3x,  поэтому  AE = 5x,  а периметр трапеции равен  7x + x + 2·5x = 18x = 45.

Ответ

45.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1571