|
|
 |
Условие
Вершина C прямоугольника ABCD лежит на стороне KM
равнобедренной трапеции ABKM (BK || AM), P – точка пересечения отрезков AM и CD.
Найдите углы трапеции и отношение площадей прямоугольника и трапеции, если AB = 2BC, AP = 3BK.
Подсказка
Через точку C проведите прямую, параллельную AM, до пересечения с AB в точке T и рассмотрите равнобедренную трапецию TBKC.
Решение
Пусть T – такая точка на стороне AB, что
TC || AM, O – точка пересечения диагоналей равнобедренной трапеции TBKC. Обозначим TK = BC = 4x,
∠BAM = α. Тогда AB = 2BC = 8x, SABCD = AB·BC = 32x².
Из подобия треугольников BOK и COT следует, что
BO : OC = BK : TC = BK : AP = 32x². Поэтому BO = x, TO = 3x, BT² = TO² – BO² = 8x². Следовательно,
tg α = tg∠BTC = BC/BT = , TC = BC/sin α = 4x/sin α.
Пусть BF – высота трапеции ABKM. Тогда BF = AB sin α = 8x sin α, AF = 8x cos α, а средняя линия этой трапеции равна
Следовательно,
Ответ
∠BAM = arctg ;
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1579 |
