|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC перпендикуляр, проходящий через середину стороны AB, пересекает продолжение стороны BC в точке M, причём MC : MB = 1 : 5. Перпендикуляр, проходящий через середину стороны BC, пересекает сторону AC в точке N, причём AN : NC = 1 : 2 . Найдите углы треугольника ABC.
Подсказка
Продолжите серединный перпендикуляр к стороне BC до пересечения с прямой AB и с прямой, проведённой через вершину C параллельно AB.
Решение
Пусть P и Q – середины сторон BC и AB соответственно, K – точка пересечения прямых PN и AB. Через точку C проведём прямую, параллельную AB, до пересечения с прямой PN в точке T. Обозначим MC = x, AQ = a. Тогда CP = PB = 2x, BQ = a.
Из равенства треугольников KPB и TPC следует, что CT = KB, а из подобия треугольников KNA и TNC – KA : CT = NA : NC = 1 : 2. Поэтому
KA = AB = 2a.
Из подобия треугольников MBQ и KBP следует, что
PB : QB = KB : MB, или 2x/a = 4a/5x. Отсюда 4a² = 10x².
Пусть AF – высота треугольника ABC. Тогда AF – средняя линия треугольника KPB. Поэтому BF = FP = x. Значит,
AF² = AB² – BF² = 4a² – x² = 10x² – x² = 9x², то есть AF = 3x.
Следовательно, tg∠C = AF/FC = 1, ∠C = 45°, а tg∠B = AF/FB = 3. Значит, tg∠A = – tg(∠A + ∠B) = – = 2.
Ответ
∠A = arctg 2, ∠B = arctg 3, ∠C = 45°.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1591 |
