Задача 53862

Темы:    [ Две пары подобных треугольников ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На основании AD трапеции ABCD взята точка E, причём  AE = BC.  Отрезки CA и CE пересекают диагональ BD в точках O и P соответственно.
Докажите, что если  BO = PD,  то  AD² = BC² + AD·BC.

Подсказка

Докажите, что  DP : BP = BO : OD.

Решение

  Обозначим  BC = x,  AD = kx . Тогда  DE = (k – 1)x.
  Поскольку  BO = DP,  то  DO = BP.  Поэтому  DE : BC = DP : BP = BO : OD = BC : AD = 1 : k.
  Следовательно,  DE = ¹/_k BC,  то есть  k – 1 = 1/_k,  или  k² = k + 1.  Следовательно,  x²k² = kx² + x², или AD² = AD·BC + BC².

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1627