Задача 53879

Темы:    [ Трапеции (прочее) ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Основания трапеции равны a и b  (a > b).  Отрезки, соединяющие середину большего основания с концами меньшего основания, пересекают диагонали трапеции в точках M и N. Найдите MN.

Подсказка

Докажите, что отрезок MN параллелен основаниям трапеции.

Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть K – середина большего основания AD трапеции ABCD, M и N – точки пересечения отрезков KB и KC с диагоналями AC и BD соответственно. Из подобия треугольников AMK и CMB следует, что  KM : MB = AK : BC = a : 2b.  Поэтому  ^KM/_KB = ^a/_a+2b.
  Аналогично  ^KN/_KC = ^a/_a+2b.  Следовательно, треугольники KMN и KBC подобны и  MN = BC·^a/_a+2b = ^ab/_a+2b.

Ответ

^ab/_a+2b.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1644