Задача 53892

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Две пары подобных треугольников ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Краснодемская А.

Точки D и E делят стороны AC и AB правильного треугольника ABC в отношениях  AD : DC = BE : EA = 1 : 2.  Прямые BD и CE пересекаются в точке O.
Докажите, что угол AOC – прямой.

Подсказка

Пусть F – такая точка на стороне BC, что   CF : FB = 1 : 2,  а прямая AF пересекает отрезки BD и CE в точках M и N соответственно. Докажите, что
OM = MN = MA.

Решение

  Пусть F – такая точка на стороне BC, что  CF : FB = 1 : 2.  Если прямая AF пересекает отрезки BD и CE в точках M и N соответственно, то треугольник OMN – также равносторонний (при повороте на 60° вокруг центра треугольника ABC он переходит в себя). Поэтому  OM = MN.
  Согласно задаче 53858  AM : MF = ³/₂ : 2 = 3 : 4,  а  AN : NF = 3 : ½ = 6 : 1.  Поэтому  AM : MN : NF = 3 : 3 : 1.  Следовательно,  OM = MN = MA.  Значит, треугольник AON – прямоугольный,  ∠AON = 90°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1657