Задача 53912

Темы:    [ Диаметр, основные свойства ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Хорды и секущие (прочее) ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде.

Подсказка

Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой.

Решение

Пусть O – центр окружности, AB – хорда, не являющаяся диаметром, M – середина AB. Точки A, O и B не лежат на одной прямой, поэтому эти точки – вершины треугольника. Поскольку  OA = OB,  треугольник AOB – равнобедренный. Его медиана OM является высотой. Значит,   OM ⊥ AB.  Следовательно, диаметр окружности, проходящий через точку M, перпендикулярен хорде AB.