|
|
 |
Условие
Две хорды окружности взаимно перпендикулярны.
Докажите, что расстояние от точки их пересечения до центра окружности равно расстоянию между их серединами.
Подсказка
Пусть O – центр окружности, AB и CD – данные хорды, M и N – их середины, K – точка пересечения хорд. Докажите равенство прямоугольных треугольников KOM и NMO.
Решение
Пусть O – центр окружности, AB и CD – данные хорды, не являющиеся диаметрами, M и N – их середины, K – точка пересечения хорд.
Первый способ. Прямая ON проходит через середину хорды CD, поэтому ON ⊥ CD, а так как AB ⊥ CD, то ON || AB. Аналогично, OM || CD. Следовательно, OM ⊥ ON. Из равенства прямоугольных треугольников OMK и KNO (по гипотенузе и острому углу) следует, что KN = MO, значит, прямоугольные треугольники KOM и NMO равны по двум катетом. Следовательно, OK = MN.
Второй способ. Четырёхугольник OMKN – прямоугольник, следовательно, его диагонали OK и MN равны между собой.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1687 |
