Задача 53937

Темы:    [ Диаметр, основные свойства ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ]

Сложность: 2 Классы: 8,9

Условие

Найдите внутри треугольника ABC все такие точки P, чтобы общие хорды каждой пары окружностей, построенных на отрезках PA, PB и PC как на диаметрах, были равны.

Подсказка

Докажите, что окружности с диаметрами AP и BP пересекаются на стороне AB.

Решение

  Пусть C₁ – отличная от A точка пересечения со стороной AB окружности, построенной на отрезке AP как на диаметре. Поскольку точка C₁ лежит на окружности с диаметром AP, то  ∠AC₁P = 90°.  Значит, эта точка лежит и на окружности с диаметром BP.
  Аналогично окружности с диаметрами AP и CP пересекаются на стороне AC (в точке B₁), а окружности с диаметрами CP и BP – на стороне BC (в точке A₁).
  По условию  PA₁ = PB₁ = PC₁,  поэтому точка P равноудалена от всех сторон треугольника ABC. Следовательно, P – точка пересечения биссектрис этого треугольника.

Ответ

Точка пересечения биссектрис треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1701