|
|
 |
Условие
Каждая из трёх прямых, параллельных сторонам и проходящих через центр вписанной окружности треугольника, отсекают от него некоторый треугольник. Докажите, что сумма периметров отсечённых треугольников вдвое больше периметра исходного треугольника.
Подсказка
Докажите, что периметр каждого из отсечённых треугольников равен сумме двух сторон данного треугольника.
Решение
Пусть прямая, проходящая через центр O вписанной окружности
треугольника ABC параллельно стороне BC, пересекает стороны AB и AC соответственно в точках X и Y. Тогда ХO = XB, YO = YC (см. решение задачи 54180). Следовательно,
AX + XY + YA = AX + XB + AY + YC = AB + AC.
Аналогично докажем, что периметр каждого из двух других отсечённых
треугольников равен сумме двух соответствующих сторон треугольника ABC. Осталось почленно сложить три полученных равенства.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1823 |
