Задача 54068

Тема:    [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Условие

Точки K, L, M и N – середины сторон соответственно AB, BC, CD и AD параллелограмма ABCD.
Докажите, что четырёхугольник с вершинами в точках пересечения прямых AL, BM, CN и DK – параллелограмм.

Подсказка

Рассмотрите четырёхугольник ANCL.

Решение

Из определения параллелограмма следует, что  BC || AD,  поэтому  LC || AN.  Кроме того,  LC = ½ BC = ½ AD = AN.  Значит противоположные стороны LC и AN четырёхугольника ANCL равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм. Поэтому  AL || CN.  Аналогично  BM || DK.  Мы доказали, что противоположные стороны четырёхугольника с вершинами в точках пересечения прямых AL, BM, CN и DK попарно параллельны. Следовательно, это параллелограмм.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1831